Turunan kedua dari y = (x+3)^4 (x-3)^5 adalah

Kelas         : 10 

Mapel        : Matematika 

Kategori    : Bab 8 - Turunan Fungsi 

Kata kunci : turunan kedua

Kode : 10.2.8 [Kelas 10 Matematika Bab 8 - Turunan Fungsi ] 

Penjelasan : 

Turunan fungsi Aljabar

f(x) = xⁿ  ⇒  f ' (x) = nxⁿ⁻¹

f(x) = axⁿ  ⇒  f ' (x) = anxⁿ⁻¹

f(x) = (u(x))ⁿ  ⇒  f ' (x) = n(u(x))xⁿ⁻¹ × u' (x)

Sifat-sifat Turunan Fungsi 

Jika k suatu konstanta, u = u(x) dan v = v(x) berlaku : 

a.  f(x) = u ± v ⇒  f ' (x) = u ' ± v'

b.  f(x) = ku ⇒ f ' (x) = ku

c  f(x) = u.v  ⇒ f ' (x) = u'. v + u.v'

d.  f(x) = [tex] \frac{u}{v} [/tex]  ⇒  f '(x) = [tex] \frac{u'.v-u.v'}{ v^{2}} [/tex]

Soal : 

Turunan kedua dari y = (x + 3)⁴ (x - 3)⁵ adalah

Pembahasan : 

Kita akan menjabarkan (x + 3)⁴ (x - 3)⁵ dengan menyederhanakan dan menggunakan segitiga pascal.

y = (x + 3)⁴ (x - 3)⁵

   = (x + 3)⁴ (x - 3)⁴⁺¹

   = (x + 3)⁴ (x - 3)⁴ (x - 3)¹

   = ((x + 3) (x - 3))⁴ (x - 3)

   = (x² - 9)⁴ (x - 3) 

jabarkan (x² - 9)⁴ dengan menggunakan segitiga pascal pada baris ke-5 yaitu 1    4     6     4     1

(x² - 9)⁴ = 1 (x²)⁴ - 4 (x²)³ (9)¹ + 6 (x²)² (9)² - 4 (x²)¹ (9)³ + 9⁴

             = x⁸ - 4x⁶ (9) + 6x⁴ (81) - 4x² (27) + 6561

             = x⁸ - 36x⁶ + 486x⁴ - 108x² + 6561

Turunan pertama

y = (x² - 9)⁴ (x - 3) 

y = (x⁸ - 36x⁶ + 486x⁴ - 108x² + 6561) (x - 3)

u (x) = x⁸ - 36x⁶ + 486x⁴ - 108x² + 6561 

u' (x) = 8x⁸⁻¹ - 6 (36) x⁶⁻¹ + 4 (486) x⁴⁻¹ - 2 (108) x²⁻¹

u' (x) = 8x⁷ - 216x⁵ + 1944x³ - 216x

v (x) = x - 3

v' (x) = 1 (x)¹⁻¹

v' (x) = 1

y = u(x) × v(x)

y' = u' (x) × v(x) + u(x) × v' (x)

y' = (8x⁷ - 216x⁵ + 1944x³ - 216x) (x - 3) + (x⁸ - 36x⁶ + 486x⁴ - 108x² + 6561) (1)

y' = 8x⁸ - 216x⁶ + 1944x⁴ - 216x² - 24x⁷ + 648x⁵ - 5832x³ + 648x + x⁸ - 36x⁶ + 486x⁴ - 108x² + 6561

y' = 8x⁸ + x⁸ - 24x⁷ - 216x⁶ - 36x⁶ + 648x⁵ + 1944x⁴ + 486x⁴ - 5832x³ - 216x² - 108x² + 648x + 6561

y' =  9x⁸ - 24x⁷ - 252x⁶ + 648x⁵ + 2430x⁴ - 5832x³ - 324x² + 648x + 6561

Turunan Kedua

y' =  9x⁸ - 24x⁷ - 252x⁶ + 648x⁵ + 2430x⁴ - 5832x³ - 324x² + 648x + 6561

y" = 8(9) x⁷ - 7(24) x⁶ - 6(252) x⁵ + 5(648) x⁴ + 4 (2430) x³ - 3(5832) x² - 2 (324) x + 648

y" = 72x⁷ - 168x⁶ - 1512x⁵ + 3240x⁴ + 9720x³ - 17496x² - 648x + 648

Jadi Turunan kedua dari y = (x + 3)⁴ (x - 3)⁵ adalah 

y" = 72x⁷ - 168x⁶ - 1512x⁵ + 3240x⁴ + 9720x³ - 17496x² - 648x + 648

Semoga bermanfaat